با استفاده از توزیع عادی ، نمونه کارها را بهینه کنید

Shobhit Seth یک نویسنده مستقل و متخصص کالاها ، سهام ، سرمایه گذاری های جایگزین ، رمزنگاری و همچنین اخبار بازار و شرکت است. شوبیت علاوه بر اینکه یک معامله گر و مشاور مشتقات است ، بیش از 17 سال تجربه به عنوان مدیر محصول دارد و صاحب FuturesOptionsetC.com است. وی مدرک کارشناسی ارشد خود را در مدیریت مالی از هلند و لیسانس فناوری خود از هند دریافت کرد.

چارلز یک متخصص و مربی بازار سرمایه در سطح ملی با بیش از 30 سال تجربه در زمینه توسعه برنامه های آموزشی عمیق برای رشد متخصصان مالی است. چارلز در تعدادی از موسسات از جمله گلدمن ساکس ، مورگان استنلی ، اجتماعی ژنرال و بسیاری دیگر تدریس کرده است.

توزیع عادی توزیع احتمال است که تمام مقادیر آن را به صورت متقارن با بیشتر نتایج واقع شده در مورد میانگین احتمال ترسیم می کند.

توزیع عادی (منحنی زنگ)

مجموعه داده ها (مانند ارتفاع 100 انسان ، علائم به دست آمده توسط 45 دانش آموز در یک کلاس و غیره) تمایل دارند مقادیر زیادی را در همان نقطه داده یا در همان محدوده داشته باشند. این توزیع نقاط داده توزیع منحنی معمولی یا زنگ نامیده می شود.

به عنوان مثال ، در گروهی از 100 نفر ، 10 ممکن است زیر 5 فوت قد داشته باشد ، 65 ممکن است بین 5 تا 5. 5 پا و 25 ممکن است بالاتر از 5. 5 فوت باشد. این توزیع محدوده دامنه را می توان به شرح زیر ترسیم کرد:

تصویر توسط سابرینا جیانگ © Investopedia 2021

به طور مشابه ، نقاط داده ترسیم شده در نمودارها برای هر مجموعه داده داده شده ممکن است شبیه به انواع مختلف توزیع باشد. سه مورد از رایج ترین توزیع های تراز شده ، راست و تراز شده است:

تصویر توسط سابرینا جیانگ © Investopedia 2021

خط روند قرمز را در هر یک از این نمودارها یادداشت کنید. این تقریباً نشانگر روند توزیع داده ها است. اولین ، "توزیع تراز چپ" ، نشان می دهد که اکثر نقاط داده در محدوده پایین قرار می گیرند. در نمودار دوم "توزیع تراز راست" ، اکثر نقاط داده در انتهای بالاتر از محدوده قرار می گیرند ، در حالی که آخرین "توزیع پر شده" ، یک مجموعه داده مختلط را بدون هیچ گونه روند مشخصی نشان می دهد.

موارد زیادی وجود دارد که در توزیع نقاط داده در حدود یک مقدار مرکزی قرار دارد و این نمودار توزیع عادی کامل را نشان می دهد - از نظر تعادل در هر دو طرف ، با بیشترین تعداد داده های متمرکز در مرکز.

در اینجا یک مجموعه داده کامل و معمولی توزیع شده وجود دارد:

تصویر توسط سابرینا جیانگ © Investopedia 2021

مقدار اصلی در اینجا 50 است (که بیشترین تعداد داده ها را دارد) ، و توزیع توزیع به طور یکنواخت به مقادیر انتهای شدید 0 و 100 (که کمترین تعداد نقاط داده را دارند). توزیع عادی در اطراف مقدار مرکزی با نیمی از مقادیر در هر طرف متقارن است.

بسیاری از نمونه های زندگی واقعی متناسب با توزیع منحنی زنگ هستند:

• بارها و بارها یک سکه منصفانه را بریزید (100 بار یا بیشتر بگویید) و توزیع عادی متعادل از سرها و دم ها را دریافت خواهید کرد.
• بارها و بارها یک جفت تاس منصفانه را بچرخانید (100 بار یا بیشتر بگویید) و نتیجه آن یک توزیع متعادل و عادی خواهد بود که در حدود شماره 7 محور است و به طور یکنواخت به سمت مقادیر شدید 2 و 12 می رود.
• ارتفاع افراد در گروهی با اندازه و علائم قابل توجهی که توسط افراد در یک کلاس به دست می آید ، هر دو از الگوهای عادی توزیع پیروی می کنند.
• در امور مالی ، تغییر در مقادیر ورود به سیستم نرخ فارکس ، شاخص های قیمت و قیمت سهام به طور عادی توزیع می شود.

خطر و بازده

هر سرمایه گذاری دارای دو جنبه است: ریسک و بازده. سرمایه گذاران به دنبال کمترین خطر ممکن برای بالاترین بازده ممکن هستند. توزیع عادی این دو جنبه را با میانگین بازده و انحراف استاندارد برای ریسک تعیین می کند.

مقدار متوسط یا مورد انتظار

میانگین تغییر قیمت سهم می تواند روزانه 1. 5 ٪ باشد - به این معنی که به طور متوسط 1. 5 ٪ افزایش می یابد. این میانگین ارزش یا مقدار مورد انتظار بازده نشان دهنده بازده می تواند با محاسبه میانگین در یک مجموعه داده به اندازه کافی بزرگ حاوی تغییرات روزانه تاریخی آن سهام حاصل شود. هرچه میانگین بالاتر باشد ، بهتر است.

انحراف معیار

انحراف استاندارد نشان می دهد مبلغی که مقادیر به طور متوسط از میانگین منحرف می شوند. هرچه انحراف استاندارد بیشتر باشد ، سرمایه گذاری خطرناک تر است ، زیرا منجر به عدم اطمینان بیشتر می شود.

در اینجا یک نمایش گرافیکی از همان آورده شده است:

تصویر توسط سابرینا جیانگ © Investopedia 2021

از این رو ، بازنمایی گرافیکی توزیع عادی از طریق میانگین و انحراف استاندارد آن ، بازده بازده و ریسک را در یک محدوده کاملاً تعریف شده امکان پذیر می کند.

این کمک می کند تا بدانیم (و با اطمینان اطمینان حاصل شود) که اگر برخی از مجموعه داده ها از الگوی توزیع عادی پیروی کنند ، میانگین آن به ما این امکان را می دهد تا بدانیم چه چیزی انتظار دارد و انحراف استاندارد آن ما را قادر می سازد تا بدانیم که حدود 68 ٪ از مقادیردر 1 انحراف استاندارد ، 95 ٪ در 2 انحراف استاندارد و 99 ٪ از مقادیر در 3 انحراف استاندارد قرار می گیرند. مجموعه داده ای که میانگین 1. 5 و انحراف استاندارد 1 دارد ، بسیار خطرناک تر از مجموعه داده دیگر است که دارای میانگین 1. 5 و انحراف استاندارد 0. 1 است.

دانستن این مقادیر برای هر دارایی منتخب (یعنی سهام ، اوراق قرضه و وجوه) باعث می شود یک سرمایه گذار از بازده و خطرات مورد انتظار آگاه شود.

استفاده از این مفهوم آسان است و نشان دهنده ریسک و بازده یک سهام ، اوراق قرضه یا صندوق است. اما آیا این می تواند به یک نمونه کارها از دارایی های متعدد گسترش یابد؟

افراد با خرید یک سهام یا اوراق قرضه یا سرمایه گذاری در یک صندوق متقابل ، تجارت را آغاز می کنند. به تدریج ، آنها تمایل دارند که دارایی های خود را افزایش دهند و چندین سهام ، بودجه یا دارایی های دیگر را خریداری کنند و از این طریق یک نمونه کارها ایجاد کنند. در این سناریوی افزایشی ، افراد پرتفوی خود را بدون استراتژی یا پیش بینی بسیار می سازند. مدیران صندوق های حرفه ای ، معامله گران و سازندگان بازار از یک روش سیستماتیک برای ساختن نمونه کارها خود با استفاده از یک رویکرد ریاضی به نام تئوری مدرن نمونه کارها (MPT) که بر اساس مفهوم "توزیع عادی" پایه گذاری شده است ، پیروی می کنند.

نظریه مدرن نمونه کارها

نظریه مدرن نمونه کارها (MPT) یک رویکرد ریاضی سیستماتیک را ارائه می دهد که هدف آن به حداکثر رساندن بازده مورد انتظار یک نمونه کارها برای مقدار مشخصی از ریسک نمونه کارها با انتخاب نسبت دارایی های مختلف است. از طرف دیگر ، همچنین برای به حداقل رساندن ریسک برای سطح معینی از بازده مورد انتظار ارائه می دهد.

برای دستیابی به این هدف ، دارایی های موجود در نمونه کارها نباید صرفاً بر اساس شایستگی فردی خودشان انتخاب شوند بلکه در عوض نحوه عملکرد هر دارایی نسبت به سایر دارایی های موجود در نمونه کارها انتخاب می شوند.

به طور خلاصه ، MPT نحوه دستیابی به بهترین نتیجه را برای بهترین نتایج ممکن تعریف می کند: حداکثر بازده برای یک سطح قابل قبول از خطر یا حداقل خطر برای سطح مطلوب بازده.

بلوک های ساختمانی

MPT وقتی معرفی شد که مخترعین آن یک جایزه نجیب کسب کردند ، مفهوم انقلابی بود. این تئوری با موفقیت یک فرمول ریاضی برای هدایت تنوع در سرمایه گذاری فراهم کرد.

متنوع سازی یک روش مدیریت ریسک است که با سرمایه گذاری در سهام ، بخش ها یا کلاس های دارایی ، "همه تخم ها را در یک سبد" از بین می برد. در حالت ایده آل ، عملکرد مثبت یک دارایی در نمونه کارها عملکرد منفی سایر دارایی ها را لغو می کند.

برای به دست آوردن میانگین بازده نمونه کارها که دارای دارایی های مختلفی است ، ترکیب نسبت وزن دارایی های تشکیل دهنده محاسبه می شود.

با توجه به ماهیت محاسبات آماری و توزیع عادی ، بازده کل نمونه کارها (r_p) به این صورت محاسبه می شود:

جمع (∑) ، جایی که w_iوزن متناسب دارایی I در نمونه کارها ، r است_iبازده (میانگین) دارایی i است.

ریسک نمونه کارها (یا انحراف استاندارد) تابعی از همبستگی دارایی های موجود برای همه جفت دارایی ها (با توجه به یکدیگر در جفت) است.

با توجه به ماهیت محاسبات آماری و توزیع عادی ، خطر کلی نمونه کارها (STD-DEV)_pمحاسبه می شود:

در اینجا ، COR-COF ضریب همبستگی بین بازده دارایی های I و J است و SQRT ریشه مربع است.

این امر از عملکرد نسبی هر دارایی با توجه به دیگری مراقبت می کند.

اگرچه این از نظر ریاضی پیچیده به نظر می رسد ، مفهوم ساده که در اینجا اعمال می شود نه تنها انحراف استاندارد دارایی های فردی ، بلکه موارد مرتبط با آن را با توجه به یکدیگر نیز شامل می شود.

یک مثال خوب در اینجا از دانشگاه واشنگتن موجود است.

یک مثال سریع از MPT

به عنوان یک آزمایش فکر ، تصور کنید که ما یک مدیر نمونه کارها هستیم که به آن سرمایه داده شده است و وظیفه دارد چقدر سرمایه را به دو دارایی موجود (A& B) اختصاص دهد تا بازده مورد انتظار حداکثر شود و ریسک کاهش یابد.

ما همچنین مقادیر زیر را در دسترس داریم:

شروع با تخصیص برابر 50-50 به هر دارایی A& B ، R_pمحاسبه شده به 0. 115 و (STD-DEV)_pبه 0. 1323 می رسد. یک مقایسه ساده به ما می گوید که برای این 2 دارایی دارایی ، بازده و همچنین خطر بین مقادیر فردی هر دارایی در وسط قرار دارد.

با این حال ، هدف ما بهبود بازده نمونه کارها فراتر از میانگین دارایی های فردی و کاهش ریسک است ، به طوری که پایین تر از دارایی های فردی باشد.

حال بیایید موقعیت تخصیص سرمایه 1. 5 در دارایی A و موقعیت تخصیص سرمایه 0. 5- در دارایی B را در نظر بگیریم. به عبارت دیگر، ما سهام B را برای 0. 5 برابر سرمایه کوتاه می کنیم و از آن پول برای خرید سهام A به مبلغ 1. 5 برابر سرمایه استفاده می کنیم.)

با استفاده از این مقادیر، R را بدست می آوریم_pبه عنوان 0. 1604 و (Std-dev)_pبه عنوان 0. 4005.

به طور مشابه، می توانیم به استفاده از وزن های تخصیص مختلف برای دارایی A و B ادامه دهیم و به مجموعه های مختلف Rp و (Std-dev)p برسیم. با توجه به بازده مورد نظر (Rp)، می توان قابل قبول ترین سطح ریسک (std-dev)p را انتخاب کرد. به طور متناوب، برای سطح ریسک مورد نظر، می توان بهترین بازده پرتفوی موجود را انتخاب کرد. در هر صورت، از طریق این مدل ریاضی تئوری پورتفولیو، می توان به هدف ایجاد یک پرتفوی کارآمد با ترکیب ریسک و بازده مورد نظر دست یافت.

استفاده از ابزارهای خودکار به شما این امکان را می دهد که به راحتی و بدون نیاز به محاسبات دستی طولانی، بهترین نسبت های تخصیص یافته ممکن را به راحتی تشخیص دهید.

مرز کارآمد، مدل قیمت گذاری دارایی سرمایه (CAPM) و قیمت گذاری دارایی با استفاده از MPT نیز از همان مدل توزیع معمولی تکامل یافته و توسعه ای برای MPT است.

چالش های MPT (و توزیع عادی اساسی)

متأسفانه هیچ مدل ریاضی کاملی نیست و هر کدام دارای نارسایی ها و محدودیت هایی هستند.

این فرض اساسی که بازده قیمت سهام از توزیع نرمال پیروی می کند بارها و بارها مورد تردید قرار می گیرد. شواهد تجربی کافی برای مواردی وجود دارد که مقادیر به توزیع نرمال فرضی پایبند نیستند. مبنا کردن مدل های پیچیده بر روی چنین مفروضاتی ممکن است به نتایجی با انحرافات بزرگ منجر شود.

با رفتن بیشتر به MPT، محاسبات و مفروضات مربوط به ثابت ماندن ضریب همبستگی و کوواریانس (بر اساس داده های تاریخی) ممکن است لزوماً برای مقادیر مورد انتظار آینده صادق نباشند. به عنوان مثال، بازارهای اوراق قرضه و سهام یک همبستگی کامل را در بازار بریتانیا از سال 2001 تا 2004 نشان دادند، جایی که بازده هر دو دارایی به طور همزمان کاهش یافت. در واقع، برعکس در دوره های تاریخی طولانی قبل از سال 2001 مشاهده شده است.

رفتار سرمایه گذار در این مدل ریاضی در نظر گرفته نمی شود. مالیات ها و هزینه های مبادله نادیده گرفته می شود، حتی اگر تخصیص سرمایه کسری و احتمال کوتاه شدن دارایی ها فرض شود.

در واقع، هیچ یک از این مفروضات ممکن است درست نباشد، به این معنی که بازده مالی تحقق یافته ممکن است به طور قابل توجهی با سود مورد انتظار متفاوت باشد.

خط پایین

مدل های ریاضی مکانیسم خوبی برای تعیین کمیت برخی متغیرها با اعداد منفرد و قابل ردیابی فراهم می کنند. اما به دلیل محدودیت های مفروضات، مدل ها ممکن است شکست بخورند.

توزیع نرمال، که اساس تئوری پرتفوی را تشکیل می دهد، ممکن است لزوماً در مورد سهام و سایر الگوهای قیمت دارایی مالی اعمال نشود. تئوری پورتفولیو به خودی خود دارای مفروضات زیادی است که باید قبل از اتخاذ تصمیمات مالی مهم به طور انتقادی مورد بررسی قرار گیرند.